DENOMBREMENTS

DENOMBREMENTS-PROBABILITES

1) Théorie des ensembles

Cardinal : le cardinal d'un ensemble E noté card(E) est le nombre d'éléments de cet ensemble.

Propriété : card(AUB)=card(A)+card(B)-card(AB)

Cas particulier : si AB=0 (A et B disjoints) alors card(AUB)=card(A)+card(B)

Complémentaire : Le complémentaire d'une partie A d'un ensemble E notée C_EA= représente les éléments de E qui ne sont pas dans A :

Propriétés :

AU=E
A=0
Card(E)=card(A)+card()

Produit Cartésien : le produit cartésien de deux ensembles E et F, noté ExF le couple (x,y) tel que x est un élément de E et y un élément de F:

On a : card(ExF)=card(E)*card(F)

Propriété : Soit E un ensemble tel que card(E)=n, alors le nombre de p-uplets de E est n^p

Arrangements : Les arrangements de p éléments de E sont les p-uplets de E constitués d'éléments distincts, si p>n, avec n=card(E), alors il n'existe pas d'arrangement possible.

On a alors :

Combinaisons : On appelle combinaison de p éléments de E tout sous ensemble de E possédant p éléments de E et on note :

Propriétés :

(a+b)ⁿ=

Définition : L'ensemble des parties d'un ensemble E noté P(E) est tel que : cardP(E)=2ⁿ (card(E)=n)

2) Probabilités

Comparaison théorie des ensembles Probabilité

Langage ensembliste	Langage probabiliste
Ensemble des résultats	Univers
1 élément de cet ensemble ou sous-ensemble ou partie de l'ensemble des résultats	1 événement élémentaire
AUB	A ou B
AnB	A et B
C_EA	Evénement contraire de A :
Ensemble disjoints	A et B incompatibles

Définition : Une probabilité sur U c'est associer chaque événement élémentaire un nombre réel positif pi (proba de l'événement élémentaire ai). La suite des nombres pi devant vérifier :

Propriétés :

P(A)=card(A)/card(U)
P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AnB)
P(AUB)=P(A)+P(B) si A et B sont incompatibles
P()=1-P(A)

Méthode avec les dénombrements :

Beaucoup de problèmes peuvent se ramener à l'étude des différentes façons de tirer p boules dans une urne qui en contient n.

Type de tirage	Ordre	Répétition d'élets	Dénombrement
Successif avec remise	On tient compte de l'ordre	Un élt peut être tiré plusieurs fois	n^p-uplets
Successif sans remise	On tient compte de l'ordre	Un élt n'est tiré qu'une seule fois	A_n^p
Simultanée	L'ordre n'intervient pas	Un élt n'est tiré qu'une seule fois	C_n^p

RQ : Les arrangements de n élts de E sont appelés Permutation de E : A_nⁿ=n!, c'est n! façons d'ordonner une liste de n éléments