DERIVEES ET CALCUL DIFFERENTIEL

1) DEFINITIONS et PREMIERE APPROCHE
Definition : On appelle nombre dérivé d'une fonction f(x) en un point A(xA ; yA), le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point A.(cf dessin)







Ce nombre, s'il éxiste, peut être calculé grâce aux deux formules suivantes :

A SAVOIR : Si la limite n'existe pas (+inf, -inf), alors, la fonction n'est pas dérivable au point considéré.

Exemple : soit f(x)=2x-3. Calculer f'(4)

solution : (que l'on retrouve avec les formules).

NB : On a donc l'équation de la tangente en un point A : y=f'(a)(x-a)+f(a)

Définition : Une fonction f(x) est dérivable sur un intervalle I ssi elle est dérivable en tout point de I.

NB : En fait le domaine de dérivabilité de f(x) correspond au domaine de définition de sa fonction dérivée.

2) DERIVEES DES FONCTIONS USUELLES ET OPERATIONS

Dérivées à connaître et formules utiles

fonctions : f(x)

dérivées f'(x)

aR

0

x

1

ax

a

xn, nR

nxn-1

1/x

-1/x2

x

1/2x

ln(x)

1/x

ex

ex

sin(x)

cos(x)

tan(x)

1+tan2(x) ou 1/cos2(x)

cos(x)

-sin(x)

u(x)n

nu'(x)u(x)n-1

u(x)

u'(x)/2u(x)

ln(u)

u'(x)/u(x)

eu(x)

u'(x)eu(x)

Une astuce : Une seule formule très importante à retenir : un=nu'un-1. En effet, pour u on pose n=1/2, et pour 1/u, on pose n=-1. Avec u une fonction quelle qu'elle soit. De même 1/ua avec n=-a. Essayez donc ! ! !

Formules de Composition et d'opérations de Fonctions :

(u+v)'=u'+v'

(uv)'=u'v+v'u

(u/v)'=(u'v-v'u)/v2

[u(v(x))]'=v'u'(v(x))

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