ISOMETRIE DU PLAN

1) Définitions et Propriétés

Définitions : Soit f une transformation du plan, on dit que f est une isométrie si et seulement si pour tout point M et N on a M’N’=MN où M’=f(M) et N’=f(N)

Théorème : La composée d’une translation et d’une rotation est une rotation de même angle.

Composition de 2 rotations : Soit r1=rot(r1,a1) et r2=rot(r2,a2) alors :

  • Si a1+a2=2k, k entier, alors r1or2 et r2or1 sont des translations
  • Si a1+a22k, k entier, alors r1or2 et r2or1 sont des rotations d’angle a1+a2

Propriétés : Les isométries conservent les produits scalaires, les barycentres, les aires, les contacts et les angles non orientés.

Théorèmes :  : Une réflexion est une symétrie par rapport à un axe.

  • La composée de 2 réflexions d’axes parallèles D1 et D2 est une translation de vecteur 2, où est un vecteur normal à D1 et D2 tel que (tu=translation de vecteur )
  • Toute translation peut se décomposer en 2 réflexions d’axes parallèles et ces axes sont orthogonaux au vecteur de la translation.

Composition de réflexions : Soit SD1 et SD2 deux réflexions d’axes D1 et D2 sécantes, alors SD1oSD2 est une rotation de centre I (point d’intersection des deux droites) et d’angle , où I1 est sur D1 et I2 est sur D2.

Théorème : Toute rotation peut se décomposer en 2 réflexions d’axes sécants.
2) Classification des isométries
Au moins 3 points fixes non alignés : C’est l’identité du plan.

2 points fixes A et B : réflexion d’axe (AB)

1 point fixe O : rotation de centre 0 ou réflexion d’axe passant par O

Aucun point fixe : Composition d’une translation et d’une rotation ou d’une réflexion.

Théorème :Toute isométrie conservant les angles orientés est un déplacement.

Un déplacement est une rotation ou une translation ; les autres sont des " anti-deplacements ". La composition de 2 déplacements est un déplacement.

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