LES CONIQUES
1) Définitions
Définition : Soit D une droite, F un point du plan tel que F n'appartient pas à D. On appelle Conique de foyer F, de direction D et d'extrémité e l'ensemble : avec H projeté orthogonal de M sur D.

Types de Coniques suivant les valeurs de e :

  • e>1 hyperbole
  • e=1 parabole
  • 0<e<1 ellipse

Définitions :

  • Axe focal : droite passant par F et perpendiculaire à la directrice. L'axe focal est un axe de symétrie.
  • Sommet : On appelle sommet d'une conique les points de cette conique appartenant à l'axe focal.
2) Equations réduites
La Parabole :

Equation dans le repère (S,i,j) avec S sommet de la parabole, i de même sens que et j vecteur directeur de la directrice. On posera p=d(F,D) et F(p/2; 0).

L'équation de la directrice est alors : s=-p/2.

Les indications ci dessous sont valables pour p<0 et p>0.

Equation

Y2=2PX

X2=2PY

Sommet

Centre du nouveau repère

Idem

Axe focal

Nouvel axe des abscisses

Nouvel axe des ordonnées

Foyer

F(p/2;0) dans nouveau repère

F(0;p/2) dans nouveau repère

 

 

Dessin

Ellipse

L'équation est du type : avec . e=c/a et b=Ö (a2-c2) d'où c=Ö (a2-b2)

Deux foyers : F et F'. Deux directrices D, D'.

C'est une conique à centre.

Théorème : Les coniques à centre admettent 2 paires de directrices et foyers symétriques par rapport au centre.

 

a>b

a<b

Centre

Centre du nouveau repère

Idem

Axe focal ou Grand Axe

Axe des abscisses du nouveau repère (y=0)

Axe des ordonnées du nouveau repère (x=0)

Sommets dans nouveau repère

A(a,0); A'(-a,0) sur l'axe focal et B(0,b) et B'(0,-b) sur l'autre axe

B(0,b) et B'(0,-b) sur l'axe focal et A(a,0); A'(-a,0) sur l'autre axe

Foyers dans nouveau repère

F(c,0) et F'(-c,0)

tel que c=Ö (a2-b2)

F(0,c) et F'(0,-c)

tel que c=Ö (b2-a2)

Directrice

X=a2/c et X=-a2/c

Y=b2/c et Y=-b2/c

Excentricité

e=c/a

e=c/b

 

 

Dessin

L'Hyperbole

L'équation de l'hyperbole est et a,b,c et e ont les mêmes propriétés que pour l'ellipse.

Equation dans nouveau repère

Centre

Centre du nouveau repère

Idem

Axe focal ou Grand Axe

Axe des abscisses du nouveau repère (y=0)

Axe des ordonnées du nouveau repère (x=0)

Sommets dans nouveau repère

A(a,0); A'(-a,0)

B(0,b) et B'(0,-b)

Foyers dans nouveau repère

F(c,0) et F'(-c,0)

tel que c=Ö (a2-b2)

F(0,c) et F'(0,-c)

tel que c=Ö (b2-a2)

Directrice

X=a2/c et X=-a2/c

Y=b2/c et Y=-b2/c

Asymptotes

Y=(b/a)x et y=-(b/a)x

Y=(b/a)x et y=-(b/a)x

Excentricité

e=c/a

e=c/b

 

Dessin

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