LES FONCTIONS CIRCULAIRES

1) Cosinus

Etude de la fonction :

Cosx est définie sur R et derivable sur R, La dérivée de la fonction cosinus est : (cosx)'=-sinx

Cos(x+2p )=cosx, Cos est periodique de periode 2p , on étudiera la fonction sur l'intervalle [-p ,p ]. De plus l'étude de la parité nous donne : cos(-x)=cos(x) cos est paire, on a donc une symétrie par rapport à l'axe Oy.

Le tableau de variation est :

Courbe :

.
2) Sinus

Etude de la fonction :

Sinx est définie sur R et derivable sur R, La dérivée de la fonction sinus est : (sinx)'=cosx

Sin(x+2p )=sinx, Sin est periodique de periode 2p , on étudiera la fonction sur l'intervalle [-p ,p ]. De plus l'étude de la parité nous donne : sin(-x)=-sin(x) sin est impaire, on a donc une symétrie par rapport à l'origine du repère , le point O(0,0).

Le tableau de variation est :

La courbe :

Remarque : La courbe de cosinus est obtenue par une translation de vecteur de la courbe de sinus (ou une translation de vecteur ).
.
3) Tangente

Etude de la fonction :

Tanx=sinx/cosx est définie sur D=R\{p /2 + kp , k entier} et derivable sur D, La dérivée de la fonction tangente est : (tangx)'=1+tan2x=1/cos2x

tan(x+p )=tanx, tan est periodique de periode p , on étudiera la fonction sur l'intervalle [-p /2,p /2]. De plus l'étude de la parité nous donne : sin(-x)=-sin(x) sin est impaire, on a donc une symétrie par rapport à l'origine du repère , le point O(0,0).

On a donc deux asymptotes verticales d'équations x=p /2 et x=-p /2.

Le tableau de variation est :

La courbe :
.
4) Equations Trigonométriques
Du type cosx=cosa :

avec k entier.

Cas Particuliers :

  • Cosx=1ó x=2kp
  • Cosx=-1ó x=p +2kp
  • Cosx=0ó x=p /2+kp

Du type sinx=sina :

avec k entier.

Cas Particuliers :

  • Sinx=1ó x=p /2+2kp
  • Sinx=-1ó x=-p /2+2kp
  • Sinx=0ó x=kp

NB : Pour les équations du type cos(f(x))=cosa ou du type sin(f(x))=sina, poser u=f(x).

Du type acosx+bsinx=c : avec a,b,c des réels, et a2+b2

Poser z=a+ib, alors et . On a donc : cos, et sin

D'où l'expression devient : .

On a des solutions si :

Cas 1 : alors S={0}

Cas 2 : donc il éxiste d tel que cosd=

L'équation devient cos(x-)=cosd avec x=+d+2kp ou  x=-d+2kp

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