LES LOGARITHMES

1) Logarithme Néperien : Définitions, propriétes.

Définition : On appelle Logarithme Néperien, la fonction définie de façon suivante :

C'est donc la primitive de la fonction sur R*+ qui s'annule en 1.

Propriétés : La fonction ln est continue, dérivable sur R*+ , de dérivée .

On en déduit d'après le signe de sur R*+ que la fonction ln est strictement croissante.

Autres Propriétés : Pour tout a,bÎ R*+, et nÎ Q (l'ensemble des rationnels) :

  • Ln(a*b)=ln(a)+ln(b)
  • Ln(an)=nln(a)
  • Ln(1/a)= - ln(a)
  • Ln(a/b)=ln(a) - ln(b)
2) Etude de la fonction ln
Tableau de variation :

Remarque : On voit tout de suite que pour tout x³ 1, ln(x)³ 0

Limites :

  • (taux d'accroissement de ln(x) en 1)

Primitive de ln(x) : Après une intégration par partie (que je vous laisse le soin d'effectuer), on trouve :

Remarque : Ln est continue et strictement croissante de R*+ sur R, ln est donc une bijection de R*+ sur R.

Courbe de ln(x) :

Retour