POLYNOMES ET TRINOMES DU SECOND DEGRE

1) Définitions et propriétés

Définition : Soit n un entier positif et a₀,a₁,….,a_i,…..a_n des réels, alors la fonction P:R->R telle que P(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+….+a₁x+a₀= est un polynôme de degré n.

Propriétés :

• Si pour tout x, P(x)=0, alors P est le polynôme nul, et a₀=a₁=…=a_n-1=a_n=0
• Deux polynômes P(x) et Q(x) sont égaux si et seulement s'ils sont de même degré et les coefficients des termes de mêmes degré sont égaux (càd : si P(x)= et Q(x)= alors pour tout i, b_i=a_i)
• Soit P un polynôme de degré n et b tel que P(b)=0, alors b est une racine du polynôme et P(X)=(x-b)Q(x) avec Q(x) de degré n-1.
• Un polynôme de degré n admet au plus n racines non nulles.

Définition : Soit le trinôme du second degré : P(x)=ax²+bx+c, on s'intéresse à l'équation P(x)=0. La courbe de P(x) est une parabole.

Propriété : 2 nombres dont la somme est S et dont le produit est P sont solutions de l'équation x²-Sx+P=0

Résolution d'une équation du type P(x)=ax²+bx+c=0:

Posons le discriminant de l'équation. 3 cas se présentent :

2 solutions (qui sont les racines du polynôme) et

Factorisation : P(x)=a(x-x₁)(x-x₂)

Signe de P(x) : P(x) est du signe de -a entre les racines et du signe de a en dehors des racines.

1 solution double

Factorisation : P(x)=a(x-x₁)²

Signe de P(x) : P(x) est du signe de a.

Pas de solutions réelles (pour les Tales voir les complexes)

Pas de factorisation de P(x) possible avec des solutions réelles

Signe de P(x) : P(x) est du signe de a.