PRIMITIVES & CALCUL INTEGRAL

1) Primitives


Definition : Soit f une fonction définie sur un intevalle I. On dit que F est une primitive de f sur I ssi Quelquesoit x de I, . F'(x) = f(x)

Theorème : Si F et G sont 2 primitives d'une même fonction f sur I alors, il existe une constante K réelle telle que : Qqsoit x de I, G(x) = F(x) + K.

Exemple : f(x)=x2 l'ensemble des primitives de f est l'ensemble des fonctions F(x)=x3/3 +K

Ensuite, on trouve une primitive particulière suivant l'énoncé : ex: primitive de f tq F(5)=10.

Théorème : Soit f une fonction continue sur I, et xo un point de I, yo un réel, il existe une et une seule primitive F de f sur I tq F(xo)=yo. En fait on trouve K en fonction de xo et yo.

CALCUL DE PRIMITIVES

Fonction

Primitive

f(x)=a

F(x)=ax + b

f(x)=xn (n-1)

F(x)=xn+1/n+1 K

f(x)=1/x2

F(x)= -1/x +K

f(x)=cos(ax+b)

F(x)=a-1sin(ax+b)+K

f(x)=sin(ax+b)

F(x)= -a-1cos(ax+b)+K

f(x)=1/cos2(x)=1+tan2(x)

F(x)=tan(x) +K

f(x)=1/x

F(x)=2x +K

f(x)=1/x

F(x) = Ln(x)+K

f(x)=ex

F(x)=ex+K

f(x)=cos(x)

F(x)=sin(x)+K

f(x)=sin(x)

F(x)= - cos(x)+K

f(x)=ax(a0 et a1)

F(x)=ax/Ln(a) + K

f(x)=Ln(x)

F(x)=x(Ln(x)-1)+K

un.u'

un+1/n+1 + K

u'/u

Lnu+K

u'/2u

u + K

u'.eu

eu+K

eu

eu/u' +K vrai si u=ax+b, faux sinon

2) Calcul Intégral
le signe de l'intégrale sera remplacé par le signe : §

Définition : Soit f une fonction continue sur [a,b], F une primitive de f sur [a,b] alors on pose F(b)-F(a) l'intégrale de f sur [a,b] notation: §f(t)dt=F(b)-F(a) où F est UNE primitive de f sur [a,b].

Théorème : En fait l'intégrale de f sur [a,b] défini l'aire sous la courbe de f.

Propriétés :§ (f+g)(t)dt=§f(t)dt +§g(t)dt §kf(t)dt=k§f(t)dt

§[a,b]f(t)dt+§[b,c]f(t)dt=§[a,c]f(t)dt §[a,b]f(t)dt= - §[b,a]f(t)dt

si f positive sur [a,b] alors §[a,b]f(t)dt>0

Intégration par Parties : §(u'(x).v(x))dx= [u(x).v(x)] - §(u(x).v'(x))dx

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