SUITES-LIMITES DE SUITES

1) Suites arithmétiques

Définition :

On appelle suite arithmétique une suite du type : Un+1=Un+r avec "r" la raison de la suite.

Autre forme : Un=U0+nr avec U0 le premier terme de la suite . (si c'est U1 alors : Un=U1+(n-1)r)

Somme : la Somme des "n" premiers termes d'une suite arithmétique de raison r est :

  • S=(n/2)[1er terme - nieme terme] c'est à dire :
  • si U0 premier terme de la suite

si U1 premier terme de la suite

Convergence :

Si r=0, Un est stationnaire et LimUn=U0

Si r>0, Un est croissante et LimUn=+oo

Si r<0, Un est décroissante et LimUn=-oo
.
2) Suites géométriques
Définition : Soit q un réel, on appelle suite géométrique de raison "q" la suite du type : Un+1=qUn

Autre forme : Un=qnU0 si U0 premier terme (si c'est U1 alors : Un=qn-1U1)

Somme : la somme des "n" premiers termes d'une suite géométrique de raison q est :

  • S=(1er terme)[(1-qn)/1-q] avec q différent de 1 . Si q=1, S=n(1erterme)
  • si U0 est le premier terme

si U1 est le premier terme

Etude de qn :

  • q>1 : qn croissante et limqn=+oo
  • q=1 : qn stationnaire et limqn=1
  • 0<q<1 : limqn=0
  • q=-1 : pas de limite
  • q<-1 : pas de limite
.
3) Etude de la convergence des suites

 

Définition Suites récurrentes : Soit f une fonction de R dans R, et la suite définie par Un+1=f(Un), alors : Si U converge vers l et si f est continue en l, alors l=f(l) est un point fixe de f.

Propriétés :

  • Un est croissante si Un<Un+1 ou si
  • Un est décroissante si Un>Un+1 ou si

Théorème :

  • Si Un est une suite croissante majorée, alors Un converge
  • Si Un est une suite décroissante minorée, alors Un converge

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