Soit f(x)= 3exp(-3x).On désigne par (C ) sa courbe dans (0, i ,j) (on ne demande pas de représenter).

1°/a –calculer ,en fonction de n , (n Î IN ).

b –Montrer que est une suite géométrique dont on précisera la raison q et le premier terme .

c- Calculer = (n Î IN ).

2° /a- Écrire l’intégrale qui correspond à la partie du plan limitée par (C) ,la droite (0, i ) et les droites

x=0 et x= n

b- Montre que . Calculer .

2° /a- Montrer que l’équation f(x)=0 possède une unique solution et que Î ] ,1[

b- Montrer que =1

3°/ Donner l’équation de la tangente (T) à (C) en =1

4°/Tracer (T) et (C) dans un repère orthonormé (0, i ,j) .

B) 1°) a- Montrer que la restriction g de f sur ]0,e[réalise une bijection de ]0,e[sur un intervalle J que l’on déterminera .

b- Soit la réciproque de . Étudier la derivabilité de et calculer et

c- Tracer dans le même repère la courbe ( G ) de .

1° / a- Calculer l’intégrale .

b- En déduire l’intégrale E=

2°/ Calculer l’aire de la partie du plan limitée par ( C ) ,(T) et les droites x=1 et x = e.

Pour tout n є IN on pose I_n =

1) En utilisant une intégration par parties :

a - Prouver que I₁ = 1

b - Établir que pour tout n є IN^* on a : I_n+1 = e-(n+1)I_n

c - En déduire les valeurs de I₂ et I₃ puis montrer que :

=0

2) a - Montrer que I_n ≥ 0 pour tout n є IN^* .

b - Montrer que pour tout n є IN^* on a : I_n+1 ≤ I_n .

c - En déduire que ( I_n )_nєIN* est convergente .

3) a - Vérifier que pour tout n є IN^* on a : I_n =

b – En utilisant la question (2°-b) montrer que I_n ≤ .

c – En déduire la limite de ( I_n )_nєIN* quand n tend vers + ∞.

EXERCICE N° 2 : ( 6 points )

Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher réparties comme suit :

x boules sont rouges , y boules sont blanches et z boules sont noires .

x , y et z sont des entiers naturels non nuls.

L’épreuve consiste à tirer successivement deux boules de l’urne de la manière suivante: si la première boule tirée est noire alors elle est gardée à l’extérieur avant de tirer la deuxième boule .Si non on remet la première boule tirée dans l’urne ,ensuite on tire la deuxième boule. Soient les évènements :

A : « Aucune des deux boules tirées n’est noire »

B : « Le tirage contient une boule noire et une boule rouge »

C : « Le tirage contient une boule noire et une boule blanche »

1°) a – Prouver que p(A) =  

b – Montrer que p(B) =

c – En déduire que si p(B) = p(C) alors x = y.

2°) a- Résoudre ,dans IR³ , le système suivant :

b – En déduire les valeurs de x , y et z si p(A) = et p(B) = p(C) .

3°) On suppose par la suite que x = y = 3 et z = 4

Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeurs :

0 si A est réalisé ,

1 si B est réalisé ,

-2 si C est réalisé

et enfin si les deux boules tirées sont noires alors X prend la valeur 1.

a - Déterminer la loi de probabilité de X .

b – En déduire que l’espérance mathématique de X est E(X) = p(X=1) .

PROBLÈME (8 points)

A - On considère la fonction f de la variable réelle x définie par f(x) = et (C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé .

1°) Vérifier que le domaine de définition de f est I = ] –3 , 1 [

2°) Montrer que le point A(-1, 0 ) est un centre de symétrie pour la courbe (C ).

3°) Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C ) au point A .

4°) Montrer que pour tout x є I on a f ’(x) =

5°) a – Dresser le tableau de variation de f.

b –Tracer (C ) et (T) dans le repère (unité graphique étant 2 cm )

(B) – Soit g la f onction définie par g(x) = (x+3)log(x+3)-(x-1)log(1-x).

1°) Vérifier que g’(x) = f (x)    pour tout x є I .

 2°) En déduire l’aire ,en cm², du domaine limité par l’axe des abscisses, les droites d’équations respectives

x = -1 et x =½   et la courbe (C ).

(C )-1°) Montrer que f réalise une bijection de I sur un intervalle J que l’on déterminera  .

       2°) Calculer f ^-1 (0) et f ^–1 (log3) puis (f ^–1 )’(0) et (f ^–1 )’(log3).

       3°) Exprimer f ^–1 (x) en fonction de x pour tout x є J.

   4°) Tracer , dans le repère , la courbe (C’) d’équation y = f ^–1 (x).